Теорема Піфагора: формулювання, доведення, задачі

Теорема Піфагора — одна з головних теорем шкільної геометрії: вона пов’язує сторони прямокутного трикутника й потрібна в задачах на довжини, відстані й площі. Нижче — формулювання, історія, просте доведення, обернена теорема, піфагорові трійки й задачі з розв’язаннями.

Формулювання

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів: a² + b² = c², де a і b — катети, c — гіпотенуза, сторона навпроти прямого кута. Геометрично це означає: площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Звідки теорема

Теорему названо на честь грецького філософа Піфагора, який народився близько 570 року до н. е., але правило знали задовго до нього. Вавилонська табличка Plimpton 322, близько 1800 року до н. е., містить сторони п’ятнадцяти піфагорових трійок. Індійський текст «Баудгаяна-шульба-сутра» і китайський «Чжоу бі суань цзін» теж описують це співвідношення; у Китаї теорему називають «гоу-гу». Найстаріше збережене строге доведення — у «Началах» Евкліда, близько 300 року до н. е.; про саму книжку — стаття «Підручник Евкліда: як геометрії навчали понад 2000 років».

Доведення перестановкою

Візьміть квадрат зі стороною a + b і розкладіть у його кутах чотири однакові прямокутні трикутники з катетами a і b. Посередині лишиться квадрат зі стороною c. Площу великого квадрата можна порахувати двома способами: (a + b)² — і як суму чотирьох трикутників і середнього квадрата, 4 · ab/2 + c² = 2ab + c². Розкриємо дужки: a² + 2ab + b² = 2ab + c², звідки a² + b² = c².

Обернена теорема

Справедливе й обернене твердження: якщо в трикутнику a² + b² = c², то кут між сторонами a і b прямий. Це твердження теж є в Евкліда. За його допомогою перевіряють, чи прямокутний трикутник, — досить порівняти квадрати сторін.

Піфагорові трійки

Піфагорова трійка — три натуральні числа, для яких a² + b² = c²: найвідоміша — 3, 4, 5, ще одна — 5, 12, 13. Якщо помножити всі числа трійки на те саме натуральне число, знову вийде трійка: 6, 8, 10. Трійку, у якій числа не мають спільного дільника, більшого за 1, називають примітивною: 3, 4, 5 — примітивна, а 6, 8, 10 — ні.

Задачі з розв’язаннями

1. Катети дорівнюють 6 і 8. Гіпотенуза: √(36 + 64) = √100 = 10.
2. Гіпотенуза 13, один катет 5. Другий катет: √(169 − 25) = √144 = 12.
3. Драбина завдовжки 5 м стоїть за 3 м від стіни. На якій висоті її верх? √(25 − 9) = √16 = 4 м.
4. Відстань між точками (1; 2) і (4; 6) на координатній площині: різниці координат 3 і 4, отже, відстань √(9 + 16) = 5. Теорема Піфагора і є формулою відстані.

Властивості трикутників та інших фігур зібрано у статті «Геометричні фігури: основні поняття та приклади».

Як готуватися до задач

У задачі спершу знайдіть прямокутний трикутник — іноді його треба добудувати, провівши висоту чи діагональ. Потім вирішіть, що відомо — катети чи гіпотенуза з катетом, — і лише тоді рахуйте. Відповідь перевірте: гіпотенуза завжди довша за кожен катет. На нашому курсі цього вчать системно: аналізувати умову, обирати теореми й формули, обґрунтовувати розв’язання й перевіряти відповідь.

Курс геометрії

На нашому курсі геометрії учні розбираються у властивостях фігур і теоремах, вчаться самостійно розв’язувати задачі й обґрунтовувати розв’язання, готуються до контрольних робіт, іспитів та олімпіад. Займатися можна з 13 років. Пробний урок коштує $8: він проходить індивідуально і триває 45 хвилин. Детальніше про курс — на сторінці «Геометрія».