Теорема Пифагора: формулировка, доказательство, задачи

Теорема Пифагора — одна из главных теорем школьной геометрии: она связывает стороны прямоугольного треугольника и нужна в задачах на длины, расстояния и площади. Ниже — формулировка, история, простое доказательство, обратная теорема, пифагоровы тройки и задачи с решениями.

Формулировка

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c², где a и b — катеты, c — гипотенуза, сторона напротив прямого угла. Геометрически это значит: площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Откуда теорема

Теорема названа по имени греческого философа Пифагора, родившегося около 570 года до н. э., но правило знали задолго до него. Вавилонская табличка Plimpton 322, около 1800 года до н. э., содержит стороны пятнадцати пифагоровых троек. Индийский текст «Баудхаяна-шульба-сутра» и китайский «Чжоу би суань цзин» тоже описывают это соотношение; в Китае теорему называют «гоу-гу». Самое старое сохранившееся строгое доказательство — в «Началах» Евклида, около 300 года до н. э.; о самой книге — статья «Учебник Евклида: как геометрию учили больше 2000 лет».

Доказательство перестановкой

Возьмите квадрат со стороной a + b и разложите в его углах четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b. В середине останется квадрат со стороной c. Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами: (a + b)² — и как сумму четырёх треугольников и среднего квадрата, 4 · ab/2 + c² = 2ab + c². Раскроем скобки: a² + 2ab + b² = 2ab + c², откуда a² + b² = c².

Обратная теорема

Верно и обратное: если в треугольнике a² + b² = c², то угол между сторонами a и b прямой. Это утверждение тоже есть у Евклида. С его помощью проверяют, прямоугольный ли треугольник, — достаточно сравнить квадраты сторон.

Пифагоровы тройки

Пифагорова тройка — три натуральных числа, для которых a² + b² = c²: самая известная — 3, 4, 5, ещё одна — 5, 12, 13. Если умножить все числа тройки на одно и то же натуральное число, снова получится тройка: 6, 8, 10. Тройку, в которой у чисел нет общего делителя больше 1, называют примитивной: 3, 4, 5 — примитивная, а 6, 8, 10 — нет.

Задачи с решениями

1. Катеты равны 6 и 8. Гипотенуза: √(36 + 64) = √100 = 10.
2. Гипотенуза 13, один катет 5. Второй катет: √(169 − 25) = √144 = 12.
3. Лестница длиной 5 м стоит в 3 м от стены. На какой высоте её верх? √(25 − 9) = √16 = 4 м.
4. Расстояние между точками (1; 2) и (4; 6) на координатной плоскости: разности координат 3 и 4, значит, расстояние √(9 + 16) = 5. Теорема Пифагора и есть формула расстояния.

Свойства треугольников и других фигур собраны в статье «Геометрические фигуры: основные понятия и примеры».

Как готовиться к задачам

В задаче сначала найдите прямоугольный треугольник — иногда его нужно достроить, проведя высоту или диагональ. Затем решите, что известно — катеты или гипотенуза с катетом, — и только потом считайте. Ответ проверьте: гипотенуза всегда длиннее каждого катета. На нашем курсе этому учат системно: анализировать условие, выбирать теоремы и формулы, обосновывать решение и проверять ответ.

Курс геометрии

На нашем курсе геометрии ученики разбираются в свойствах фигур и теоремах, учатся самостоятельно решать задачи и обосновывать решение, готовятся к контрольным, экзаменам и олимпиадам. Заниматься можно с 13 лет. Пробный урок стоит $8: он проходит индивидуально и длится 45 минут. Подробнее о курсе — на странице «Геометрия».